Consigne: Soit \(\triangle ABC\) un triangle et \(\mathcal C\) son cercle circonscrit, de centre \(O\)
Soit \(A^\prime\) le point diamétralement opposé à \(A\) sur le cercle \(\mathcal C\)
La hauteur \((AH)\) issue de \(A\) du triangle \(\triangle ABC\) recoupe le cercle \(\mathcal C\) au point \(D\) (\(A\) et \(D\) sont distincts)
Si \(D\ne A^\prime\), on note \(\mathcal D=(DA^\prime)\), sinon \(\mathcal D\) désigne la tangente à \(\mathcal C\) en \(D=A^\prime\)
Montrer que la droite \(\mathcal D\) est parallèle à \((BC)\)
Ce qu'il faut montrer + schéma du premier cas
Montrons d'abord que \(\mathcal D\perp(AH)\) dans les deux cas
1er cas :
1er cas : angle inscrit éclaire un demi-cercle
Si \(D\ne A^\prime\), alors comme \(AA^\prime\) est le diamètre du cercle, l'angle inscrit \(\measuredangle ADA^\prime\) éclaire un demi-cercle, et donc \(\measuredangle ADA^\prime=\frac\pi2\)
Ainsi \(\mathcal D\perp(AH)\)
Schéma du 2e cas
2e cas : tangente est perpendiculaire à un diamètre \(\to\) à \((AH)\) car les points sont alignés
2e cas : si \(D=A^\prime\), alors comme \(AA^\prime\) est un diamètre et \(\mathcal D\) est tangente en \(A^\prime\), nous avons \(\mathcal D\perp(AA^\prime)\)
Ainsi, comme dans le cas précédent, \(\mathcal D\perp(AH)\) car \(A,A^\prime=D\) et \(H\) sont alignés
Conclusion : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles
Pour conclure, vu que \(\mathcal D\perp(AH)\) et \((AH)\perp(BC)\) comme hauteur, nous avons \(\mathcal D\;||\;(BC)\)